神奇的数学(V) – 幽灵一般的数

行者之心

2020-08-26

上次讲到无理数，无理数说得更明白一些就是无限不循环小数，也就是在小数点后面会跟上无穷多位数，而且不循环。无穷是数学带给人类最富有挑战性的概念，因为在人类认识的物理空间中，没有任何事物是真正无穷或无限的，也就是说人的观察力是有限的，即使人的想象力其实也是有限的。然而人类正是要利用自身有限的能力来构造无限的世界。数学正是这样的一个尝试。

数学的基础在于数。前几回我们已经介绍了不少数，今天要介绍两个非常特别的数字，说它们存在吧，但却无法把它们清楚地写出来，说它们不存在吧，它们却可以实实在在地被定义，甚至还可以参加运算。所以这些数如同幽灵一般介于存在与不存在之间。

无穷小
第一个幽灵数是无穷小。

无穷小真是很特别的一个数，如果不加说明它就是一个正数（我们把它前面加一个负号也可以定义负无穷小），也就是说比零要大。但它又特别特别的小，小到什么程度，小到你给出任何一个具体的正数，它都比这个数还要小。但它可不是零，因为我们都知道零是数学中的一个怪胎，唯一一个不能放在分母上的数字，而无穷小则是可以放在分母上的。

虽然无穷小比任何我们给出的任何一个具体的正数都要小，但无穷小未必是最小的一个数，因为可以有不同的无穷小。一些无穷小可能会比另外一些无穷小还要小。实际上可以存在无限多的无穷小。这么一群蹦蹦跳跳如同跳蚤一般的家伙实在是难以捉摸，我们无法给出任何一个无穷小的实体，但它们却是人们定义连续性的基础，在这之上才发展出数学中极有实用价值的一个分支：微积分。而微积分是现代科技，尤其是经典物理学的重要数学基础。

蕴涵所有真理的Ω
Ω是一个非常了不起的数，因为它如同上帝的神谕一般存在，谁要是掌握了它，谁就掌握了所有一切（至少是数学上的）真理。

这个数的定义比较复杂，涉及到图灵机。图灵是二战时期的一位英国数学家，被誉为计算机科学之父，他非常聪明，破译了德国人的密码。他发明的图灵机就是一种结构非常简单的计算机。这种计算机虽然结构简单，但可以模拟现代所有计算机的运算（甚至包括量子计算机）。图灵机虽然强大，但它并不是万能的，因为理论证明总有一些程序，它在图灵机上运行的结果人类永远无法知道。注意，这里用的词是永远。也就是说无论给你多少资源，多少伟大的科学家，多少亿万年的时光，你们都无法知道这个程序在图灵机上运行的最后结果，甚至它是否会最后停止运算都无法知道。

在上面这个基础上，人们进而发现一个特别的数Ω。这个数在数学中有严格的定义，所以是确实的，存在的。人们研究它的特性发现，一但掌握了这个数，就掌握了解开一切真理的钥匙。也就是说人类的任何一个疑问，你只要能把它表达成一个数学问题，通过Ω都可以找到这个问题的答案。甚至不需要掌握全部Ω，只需要掌握它有限的一部分都可以帮助解决许多目前无解的数学难题。

只是这个数如同前面介绍的许多程序我们永远无法知道它们在图灵机上最后运算的结果一样。人类也没有任何理性的方法可以找到Ω。是不是很绝望？Ω清楚地展示人类理性的极限。一个数清楚地在那里，但人类却永远无法利用理性找到它，而且即使你随便写一个数，而这个数碰巧就是Ω，但人类也永远无法确认它是否就是那个Ω。

欧阳京

只是这个数如同前面介绍的许多程序我们永远无法知道它们在图灵机上最后运算的结果一样。人类也没有任何理性的方法可以找到Ω。是不是很绝望？Ω清楚地展示人类理性的极限。一个数清楚地在那里，但人类却永远无法利用理性找到它，而且即使你随便写一个数，而这个数碰巧就是Ω，但人类也永远无法确认它是否就是那个Ω。

这是什么意思？

snapdragon

负无穷大是坐标轴向左无穷延伸,而无穷小的界限是零,也就是说其实无穷小是指零向右的坐标无限向左.

所以负无穷大是负数，而无穷小是无限接近于0的正数。所以无穷小> -∞. 对吗？

无穷小有没有类似的符号表示？负无穷小在坐标上是，那负无穷小比无穷小小?

行者之心

欧阳京 发表于 26-8-2020 22:30
只是这个数如同前面介绍的许多程序我们永远无法知道它们在图灵机上最后运算的结果一样。人类也没有任何理性 ...

这是一个超越数，具体的定义比较复杂，所以我就省略了。有兴趣可以看看维基的介绍：
https://en.wikipedia.org/wiki/Chaitin%27s_constant

我只是试图用通俗的语言对这个数字做一点简介。

行者之心

annahw 发表于 26-8-2020 23:29
负无穷大是坐标轴向左无穷延伸,而无穷小的界限是零,也就是说其实无穷小是指零向右的坐标无限向左.

所以 ...

无穷小是个正数，比零大，但比任何确定的正数都小。负无穷小比0小，但比任何一个确定的负数都大。负无穷大是比任何确定负数都小的数。

snapdragon

行者之心 发表于 27-8-2020 16:16
无穷小是个正数，比零大，但比任何确定的正数都小。负无穷小比0小，但比任何一个确定的负数都大。负无穷 ...

嗯嗯，验证了我所想的是对的

行者之心

annahw 发表于 26-8-2020 23:29
负无穷大是坐标轴向左无穷延伸,而无穷小的界限是零,也就是说其实无穷小是指零向右的坐标无限向左.

所以 ...

和无穷大不同，数学通常用ꚙ 表示无穷大，在数学中常用 ε 或 δ 来表示值趋于0的变量，趋于0实际就是无穷小。