《费马大定理》读书笔记 - 之一: 数学拯救了殉情者

欧阳京

一：数学拯救了殉情者

　　这是《费马大定理》一书中，最为激动人心 的一段。

　　我将用最简短的介绍，从中间开始，希望让人对本好书提起兴趣。

　　1908年，德国实业家、数学爱好者Paul Wolfskehl因为被一个美女拒绝，准备自杀。

　　他严格地计划好了每一步，写好了遗嘱和信 件，定下了自杀的时间。

　　阴差阳错的是，由于他的高效率，使他提前 几个小时完成了所有事情。

　　为了消磨这几个小时，他到图书馆里读数学 书。恰好他读到了前人一篇试图证明费马大 定理但是失败了的论文。

　　更不可思议的是，他发现了其中一行证明逻 辑上有个漏洞，而这个漏洞可能导致费马大 定理得到证明！

　　于是，他开始了全神贯注的证明工作。

　　最后，他补救了该论文的证明，得出的结论 是：“费马大定理不可证”不见得是真命题。

　　不知不觉，自杀时间也过了，自豪的Paul Wolfskehl重新得到了生活的信心和生命的欲 望。

　　他因此为证明费马大定理设下巨额奖金。以 鼓励人们去为这个被尝试了几个世纪但是基 本上已经无望的命题而继续努力。

欧阳京

之二：数学家？还是精神病患者？

　　负责Wolfskehl费马大定理有奖征解论文评判的F.Schlichting，有一段精彩的书信片段，值得分享：

　　“几乎所有的解答都是在非常初级的水平上（使用中学数学以及可能是数论中某些未经整理的论文中的概念）写成的，但尽管如此，理解起来确实非常的复杂。在社会地位方面，寄论文者常常是受过一种专业教育但事业上失败的人，他们试图以证明费马大定理找回成功。我将一些稿件交给了诊断严重精神分裂症的医生。”

　　可见，数学和科学一样，都需要权威。这个权威从哪里来？无疑，与公理一样，这个权威来自于人们的普遍承认，无须证明，无法证明。格丁根大学数学系的系主任埃德蒙.兰道教授，曾经也是一个审查Wolfskehl有奖征解的负责人。他就曾经让学生们去阅读那些纷至沓来的证明论文，然后给出回复。显然，这里的权威，就是来自于系主任这个被公众认可的身份，哪怕让他的学生作答。这说明权威的表现形式不重要，重要的是权威的内涵。

　　如果是赫胥黎，作为一个伟大的不可知论者，那么他要怀疑，凭什么要把我的证明稿件送给精神病医生？尽管你被世人普遍承认，但这并不代表你掌握真理。

　　你的判断不过是人的判断，也不能代表客观真理。充其量不过就是代表“当前人类的理性所能理解的真理”而已。

　　如此一来，就像达尔文的“物竞天择、适者生存”引起的伦理学灾难一样，这个世界最终必将趋向于混沌。

　　这是末日还是挑战？

欧阳京

之三：数学的危机----罗素悖论

　　罗素悖论，曾经几乎使一个数学家的心血付之一炬。

　　1902费雷格出版了一部关于建立数学新标准的书，《算术的基本规律》。他的工作是简化公理集合，并且用这些公理来重新证明所有定理。这样，洗净铅华的数学将变得空前无比的清新和美丽。

　　然而罗素悖论，即罗素不相容性，让他的工作的基础受到打击，多年的血汗研究成果也就因此一文不值！

　　那么，到底什么是罗素悖论呢？用最简单粗浅的比方来说，就是那个很常见的两难问题----前提：一个理发师只为不给自己理发的人理发。那么我们问：他给不给自己理发呢？如果他给自己理发，那么根据前提，他就不能给自己理发；如果他不给自己理发，那么根据前提，他就要给自己理发。

　　或者另一个：万能的上帝能不能创造一块他举不起来的石头？如果能，那么他就不是万能的，如果不能，那么他也不是万能的。

　　总之，这样的悖论可以动摇数学的基础。例如，我们常用的反证法，就是从公理出发，假设公理是错的，然后得出一个谬论，所以我们就得出结论说，这个公理不可能错。

　　然而，罗素认为，不相容性（悖论）使得从公理出发，有可能得到荒谬的结论。而我们所有的理论都建立在公理之上，这无疑是对数学大厦最为严重的打击！

　　那么，怎么办？最简单的办法，就是再添加一条公理：此公理规定任何类不能是自身的一个成员。用大白话说，就是那个理发师不能在那些不给自己理发的人构成的一类人里。

　　或者说，万能的神，不受逻辑的约束。

　　这样，罗素悖论就可以得到避免，数学的基础重新稳固了。

　　但是问题是，新创造的这条公理，有何依据？是客观的吗？是理性的吗？纯粹的科学难道能够容忍人为的创造？

　　罗素又花了10年时间来研究公理，希望我们能够从他的研究中，得出一点启示。

欧阳京

之四----数学上的不可知论者：哥德尔

　　罗素真的花了10年时间来研究作为数学本质的公理。

　　1910年，他和Alfred North Whitehead合作出版了非常成功的《数学原理》，其中对他的悖论做出了解答。

　　后来，该书被奉为完美数学大厦的指南针。大名鼎鼎的数学家、为自己墓志铭写下"我们必须知道，我们必将知道（Wir mussen wissen, wir werden wissen）"的吉尔伯特甚至相信：数学已经走向了重建，逻辑相容与任何问题都可以用数学来解答（再提毕达哥拉斯的名言：世界的本质是数字）这两个数学家之美梦已经成真。

　　然而，1931年一个名不见经传的25岁数学家发表了一篇灾难性的论文。这位数学家名叫哥德尔。

　　这个从小体弱多病的臆想症和抑郁症患者、“为什么”先生、奥匈帝国子民、维也纳大学毕业生、数论天才在他的书《<数学原理>及有关系统中的形式不可判定命题》中，提出迫使数学家们承认“数学在逻辑上永远不可能完美无缺”的两个命题：

　　第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能被证明又不能被否定的定理。

　　这个定理的意思是，不管你使用那一套公理集合，总有数学无法解答的问题存在。例如理发师悖论，即便你重新定义一个公理，使得理发师不在那些不给自己理发的人的集合里，单独存在。它解决了理发师给不给自己理发的问题，但是不见得能解决其他所有的问题。


　　第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。

　　这一条更具打击性，它的意思是，即便你打算小心翼翼地选择一套公理集合，以避免那些无法解答的问题，但是你永远无法保证从这些公理出发一个谬论也不会得出。这就是说罗素不相容性是无法被证明的！

　　显然，如果把万能的神排除在逻辑之外，可以避免那个“举不起的石头”的悖论，但是你无法证明从“万能的神不遵守逻辑”这个人为设定的公理所在的集合，永远也不会得出谬论。

　　其实，这些“不可知论”的悲观主义哲学，就是在罗素开创的道路上走得更远更彻底了。

　　哥德尔的发现，使得一代哲学、数学大师、最伟大的无神论者之一罗素死前仰天长叹：“在使数学成为无可怀疑的知识的道路上，我已经无能为力了。”

欧阳京

之五-----说谎者悖论（克里特人悖论）

　　克里特人Epimenides曾经愤怒地说：“我是一个说谎者！”

　　如果你把此话当真，要研究它到底是真是假的时候，你就得到一个类似的罗素悖论。

　　例如，如果你说此话是真，而他说他是在说谎，那么此话为假。反之，如果你说此话为假，那么他就不是一个说谎者，与他声称自己是说谎者矛盾。

　　总之，这就是一个永不完满的悖论。哥德尔提出的解决方案很简单，就是“这个命题没有任何证明。”

　　哥德尔用抽象复杂的数学符号表达了这些观点，提出他的不可判定命题：“数学中存在真的、但是却永远不能证明的命题。”

　　几乎与此同时，德国物理学家Werner.Heisenberg揭示了我们曾经在我《薛定谔猫与神》中反复讨论的测不准原理，这个物理学的不可判定命题，与数学不可判定命题，如同一个双胞胎，双双降世于人间，无不在暗示，这种“真理不可知，一知就是悖论”的哲学思想有其必然性。

　　的确，只要你不去试图证明此话是真是假，你就得不到悖论，看起来，这就是一种消极逃避、一种弃全局而保局部的做法（与反证法弃局部而保全局截然相反），貌似绝非严肃的数学家态度了。

　　这是类似于哲学家的态度----你必须承认必定有无法证明、也不能去证明的公理，否则这个世界就是荒谬的。

　　例如在基督徒眼里，这个公理，就是无法证明、也不能去证明的“神是永恒的存在。”

　　在宏观角度上看，数学和物理学在不断地进步，人类认识世界、改造世界（马克思说，他的哲学和以往的哲学不同，是用来改造世界的，而以往的哲学是用来认识世界的）的信心一步一步得到增强。而从微观的角度，上帝粒子的发现、和不可判定性定理的证明，告诉我们，这个世界远非吉尔伯特所说，“我们必将知道。”

　　于是，从科学到信仰，就只有一步之遥了。

欧阳京

之六：费马大定理和神

　　谈了这么多数论和哲学，到底这和我们谈的费马大定理何干？

　　例如：即便罗素悖论在数学的微观世界里是不可辩驳，正如测不准原理在物理的微观世界里无可否认一样，可是我们日常用的数学知识和物理知识，似乎并不会受到影响。

　　退一万步，即便受到影响，例如，斯坦福大学的一位29岁的数学家的确发现了一种用来检验某个问题是否不可判定的方法。但是这一切到底和费马大定理有什么关系？

　　关系很大！

　　显然，从哥德尔的工作以及那位斯坦福大学的数学家的工作，可能得出费马大定理是不可判定的！这个不可判定的意思是：从我们已经有的任何一个公理集合，都将无法证明费马大定理。也就是说，多少专业和业余数学家们，花了几个世纪的心血来解决狡猾的费马在书页边上提到他已经证明了“费马大定理”，所有的一切努力都白费了。

　　也许费马其实只是跟大家开个玩笑。其实费马大定理根本不可证明。

　　奇怪的是，如果费马大定理真的是不可判定的，那么将隐含一个结论，那就是它是对的。

　　因为，从数理逻辑上来说，如果它是错的，那么，必然有一个反例来证否他，一旦被证否，那么它就不是“不可判定”的了。

　　如果找不到反例来证否它，即便它暂时不可被证明，也有可能是对的，只是我们目前没有办法证明而已。

　　同理，神的存在，也是“不可判定”的。根据不可判定性原理，神的存在也许是确切的，只是象费马大定理一样，我们目前没有能力证明他而已。

欧阳京

之七：数学家、同性恋者图灵的战争

　　我认识一个朋友的丈夫得过图灵奖。这是计算机科学界的最高荣誉。

　　二次大战中，英国政府为了破译德国 Enigma（拉丁语--谜语）密码系统，把最好 的数论专家召集到白金汉郡的布勒切莱公园 旁边一栋房子里，专门研究德军的Enigma密 码系统。

　　图灵就在应邀之列。

　　密码破解为什么需要数论专家？先让我谈谈历史上的密码系统。

　　在二次大战以前，所谓加密，无非是对文字进行转换，或者重新排序，经过转换或者重新排序后的文字，对于不知道转换规则和排序规则的人而言，是没有意义的，例如，26 个英文字母，我们可以设定一个+5的规则， 如，把A转换成A之后的第五个字母，我们得 到F。这样，明文ARMY，经过转换，便成了 密文FWRD。对于不知道这个+5规则的人， 当然不会懂这个密文的意思。

　　当然这是最简单的一个例子，复杂的例子， 就是德军费尽心血设计的Enigma密码机，看过电影《猎杀潜航》的都知道，为了获取一 台德军Enigma密码机而不让德国知道密码机被截获，付出的代价有多惨重。

　　这种密码机的目的就是要设计尽可能复杂地转换和排序方法，复杂到即便电报在空中被 截获，在给定时间内，也不会被破译。然 后，一旦安全时间过去，就及时变化加密方 式。如此，即便你破译了其中一个密码，但是不知道密码变换规则（加密方法，例如从+5变换到+7），新密码也是安全的。

　　图灵及其同事，这个数学家小组，设计了一个Enigma反转破译机，这个机器，加上数学家们用任何机器都无法模拟的大脑对密文的排列和出现的规律进行猜测，也就是众所周知的“暴力破解法“，一次次成功而不声张地 破解了德军的密码电报：潜艇位置、出击时 间、空袭对象，等等，

　　而德军，为了反破译，也不断更新Enigma密码机的加密方式。

　　密码，和密码变化规则，就成了二次大战中 盟军和德国你来我往、不动声色然而残酷无比的一场数学战争。

　　图灵数学家小组对二次大战作出的卓越然而隐秘的贡献，是难以估量的。以至于历史 上，人们把第一次大战当成化学家的战争， 而把第二次世界大战看成是数学家的战争。

　　二次大战之后，在破译机的基础上，图灵设计了具有1500个电子管的机器，这成了第一个概念意义上的计算机。

　　当然，这种机器的虽然具有”记忆”和“计算“系 统，比起现代的计算机差别如同天壤。

　　如今的密码学在数论的基础上，也得到了日 新月异的发展，我们今天常用的公钥和私钥 加密算法，就是基于欧拉素数定理的：一个公开的密码，通常是两个巨大的素数，通过公开方式发送出去，任何人都可以获悉，然 而还有一个私钥，安全地保留在一个系统之 上，对文件进行加密，解密方根本不需要知道对方私钥的信息，只要知道对方的身份信息，就可以解密密文了。

　　这样的加密方式，就是当今最强大的计算机来暴力破解，据称也要几万年以上，图灵的机器，作为原始计算机雏形，当然是无法企 及这种运算了。

　　但是，正是图灵的工作，使得现代的计算机成为现实。

　　可悲而且不幸的是，这个伟大的数学家、密 码学家、二战秘密功臣，却在战后收到严密 的监视甚至迫害。因为图灵是一个同性恋 者。军方当心这个弱点会导致图灵泄漏他掌 握的大量秘密。

　　为了纠正他的性倾向，图灵还因此受到过强行注入雄性荷尔蒙的纠正性治疗。

　　1952年6月10号，这个数学天才、剑桥大学 高材生、计算机科学奠基人、密码学专家， 终于不堪屈辱，服用浸过氰化物溶液的苹果 而自杀死亡。

　　2009，英国首相布朗代表英国政府向图灵道 歉。

　　而那个被只被咬了一口的浸过氰化物溶液的苹果，被崇拜图灵的乔布斯，当做苹果公司的标志。。。

欧阳京

之八，穷举法不是数学---不可知论者的暂时胜利

　　计算机的出现对“验证”费马大定 理提供了工具。例如，经过很多人的研究，费马大定理对于100以内的几个非正则素数，37，59和67，是对的。而对非正则素数适用，是证明费马大定理的一个关键。

　　可是，非正则素数的个数，与自然数一样， 是无穷的。即便我们可以用日益强大的计算 机来证明费马大定理对500以内、1000以内、 1万甚至1千万以内的非正则素数都成立，你还是不能证明费马大定理对于所有自然数n都 成立。

　　对于无穷的集合而言，穷举法是徒劳的，所以，穷举法不是数学。

　　所谓科学，就是人类已经掌握的经验知识的集合，如果科学认为，在给定的数字范围 内，例如我们可以用超级计算机，证明对于 10000000000000000这个数字而言，费马大定理是适用的，于是我们便可以在这个被 确切证明的知识点的基础上，安全地引用这 个定理，来做科学计算。

　　但是，从数学、也就是说哲学角度出发，我们绝对不能这样自信！计算机再强大，对于真正的数学家而言，于费马大定理的证明， 也于事无补。

　　例如，数学家欧拉（大学代数中的神圣名 字），提出一个类似费马大定理的欧拉“猜 想”-----X**4+Y**4+Z**4=W**4，此方程无 解。然而，1988年，哈佛大学的一个学生用计算机发现， 2682400**4+15365639**4+18796760**4=2 0615673**4，事实上，次此方程有无穷解。很简单地便宣布了欧拉猜想的破产。

　　此例子无非是要说明，你不能用几个特例来证明一个普适方程，例子再多也不行。

　　说一个笑话吧。

　　一个天文学家、一位物理学家以及一个数学家去苏格兰渡假，坐在火车上，他们发现窗外田 野中间有一头黑色的羊。 “多么有趣呀！”天文学家说道，“所有苏格兰的羊都是黑色的！” 这时，物理学家回答道：“不！是一些苏格兰的羊是黑色的。” 数学家恳切地凝视着天空，吟诵道： “在苏格兰，至少存在一个田野，这个田野里至少存在一只羊，这只羊至少有一面是黑的！”

　　不用任何已知的经验，来概括事实，形成所谓的真理，就是哲学家的态度。

　　对人类而言，世界现状，是以往世界历史的 总和。亚里斯多德说，人是他以往生命的总 和，不了解一个人之前所发生的一切，你就 不能说你完全懂得一个人。

　　正如我们的讨论，所有的科学知识，严格说 来，都是到目前为止适用。牛顿定理被爱因 斯坦否定，相对论也可能被将来某个理论否 定。只要时间还在延续，所有的公理都不过 是暂定的“公设”而已。

　　从这个角度而言，赫胥黎的不可知论，还是有强大的基础的。

欧阳京

之九：构建在沙滩上的数学大厦

　　由于这一章牵涉的数学知识太深奥，我一直不知道如何来写这一章的简介。但是这一章对证明费马大定理如此重要，而且其中的最重要的线索由一对年轻的日本数学家贡献，两个生死之交的数学家，其中一个和他的未婚妻双双自杀，多少给此书增添了不少悲剧色彩。让我觉得这一章需要好好介绍一下。而且，虽然不是此书的哲学思想核心，但是却是此书的技术核心。

　　第二次世界大战后，百废待兴的日本，出了两个才华横溢的年轻人，谷山丰和志村五郎。两个人都是热爱数学的人。据称他们爱上数学，是因为学习数学比较方便，看书就可以了，不象物理和化学，进行试验要买很多设备，挺麻烦。因为同样的研究兴趣，为了借到同一本数学杂志，他们偶然走到一起来了，成为了一生的朋友。

　　由于和外界隔离，他们研究起过时的课题---（modular form）理论来。

　　模形式是除加减乘除之外的第五种运算方法。它最重要特征是对称性，例如正方形具备旋转对称性和镜像对称性，但是不具备平移对称性。当然，正方形的对称性是二维空间的对称，而模形式，往往讨论的是无法想象、仅存在于数学中的四维空间对称性。

　　模形式做为一种应用数学，有很强的实用性。

　　谷山和志村研究的另一个对象，是椭圆方程。椭圆方程貌似与模形式毫无关联，只关系到平面解析几何。例如，在二维空间里，Y**2=X**3+aX**2+bX +c，它的解集就是一条二维空间的椭圆形。

　　但是他们却硬生生地发现，一个个椭圆方程，往往可以和一个个模形式关联起来。通过反复研究，他们甚至大胆地提出谷山--志村猜想，那就是，任何一个椭圆方程，都可以关联一个模形式。

　　这就好比他们发现了一座沟通两个数学领域的桥梁，而数学中风马牛不相及的学科如概率论和几何学，好比理论海洋中的孤岛，联系起这些孤岛的桥梁，意义之重大不言而喻，因为一个领域中无法解决的问题，也许可以通过这个桥梁，转换成另一个领域的问题从而可能得到解决，从而得到突破性发展。例如电学和磁学，原本是两个科学领域，然而一旦它们被发现有关联，并被统一成电磁学，这个学科就得到了飞速的发展。

　　所以，他们这个猜想具有非常刺激神经的作用。很多数学家相信，如果这个猜想是真的，那么他们可以解决很多应用科学和工程技术中的问题。很多人甚至基于这个猜想，做了很多工作。很多论文被写出来，很多证明被发表，有些优秀的数学家甚至开始了数学统一化计划，貌似一个理论大厦似乎要被建立起来了，数学的前途看起来无可估量！。然而，这个理论大厦的基础，确是建立在一个猜想之上。

　　这，一方面让人沮丧：万一这个猜想是假的，多少人的心血就白费了，统一化数学的理想就是一个建立在沙滩上的大厦，随时可能倒塌；另一方面，也让人充满激情和希望，因为唯一摆在数学家面前的难题，就是谷山---志村猜想，一旦这个猜想被证实，那么数学将进入史无前例的时代！

　　可惜而且可悲的是，猜想提出者之一、才华横溢的年轻数学家谷山丰，却不知道处于什么原因，在满31岁后第五天，撇下他马上就要结婚的未婚妻自杀了。

　　几个星期后，他的未婚妻铃木美佐子，也结束了自己的生命，她遗言说：“我们曾经互相允诺，不管到哪里，我们都不分开，既然他去了，我也必须和他在一起。”

欧阳京

之十：和无穷决斗----一代天骄伽罗华

　　记得大学时代数学老师谈起伽罗华，那种仰 望、神秘、惋惜的复杂心情，溢于言表。

　　的确，这位数学天才、共和主义革命青年、 群论创始人、5次多项式方程的解法的创造 者，本来可以在数学上超越前人，做出辉煌的成就，却在20岁上就因一场三角恋和情敌决斗，死于枪弹引发的腹膜炎，让人嘘唏不已。

　　上一节谈到谷山---志村猜想，貌似我们在谈 一件毫不相关的事情，但是一位来自德国的 数学家Gerhard Frey，却通过一系列的精妙演 算，证明了----如果椭圆方程和模形式世界中的谷山----志村猜想是真的，那么费马大定理就间接地得到了证明！

　　这个消息，无疑是一枚数学界的重磅炸弹， 激起了无数巨大的波浪。一直暗中试图证明 费马大定理的数学家Andrew Wiles，也因此重新燃起了埋藏在心中很久的激情。此时的 Wile，有家有口，有一份稳定的数学教授的 工作，不用担心前途，不用担心衣食无着， 一旦激情迸发，就要朝旁人不可登攀的目标前进。

　　人在这个世界上的价值，不在于你和别人的相同之处，不在于你做着和别人相同的事情；而在于你和别人的不同，在于你做的异乎寻常的事情。

　　而和证明谷山----志村猜想这样蕴含无穷个 椭圆方程和无穷个模形式的东西决斗，当然 不是一件寻常的事情。做这个事情的人，当 然是出类拔萃、异于常人的人。

　　幸运的，人类历史上准备的知识，恰好够 Wiles使用了。显然，从这个角度而言， Wiles和Newton一样，都是站在前人肩膀上 的，特别是站在一代天骄伽罗华的肩上。因 为伽罗华，用他创造的的群理论，把无穷化为有穷，为Wiles提供了诸多数学工具中的一 个让他迈出第一的工具----群论。

　　伽罗华创造后来被称为群论的思想方法，是 为了解决他的5次多项式方程问题。

　　我们知道，二次多项式方程aX**2 + bX + c = 0的解是很简单优美的一个等式：

　　[viewimg图没了，请大家脑补这个高中数学公式。]

　　而3次，4次，方程的解，虽然被找到了，但 是就没有这么漂亮了。而且，在伽罗华的年 代，5次多项式方程aX**5 + bX**4 + cX**3 + dX**2 + eX + f = 0 的解，则还没有找到。而 17岁的伽罗华就开始了这个求解过程。

　　伽罗华的数学生涯中，我们可以看到一些伟 大的数学家的名字，如柯西、傅立叶、索菲. 热尔曼。同时，我们也可以看到其他领域中 的一些伟大或者平凡的名字，如拿破仑、小 仲马、查理十世、路易十八、斯特凡妮（伽 罗华的情人）。小仲马用他文学家的笔记录了伽罗华在酒馆里发表反对路易十八的颠覆 政府言论，这些言论，加上伽罗华爱穿上拿破仑创建的国民警卫队制服招摇过市，导致他被抓捕坐牢。

　　出狱后他开始酗酒，并与一个已经和别人订婚了的女人、斯特凡妮发生了风流韵事。

　　桃色新闻让他和斯特凡妮的未婚夫之间的决 斗成为必然，（加罗华的父亲就是为了维护名誉而决斗身亡的。）作为一个视荣誉就是 一切革命者、数学家，决斗前夜，他把自己 的工作，用一贯的因跳跃性思维而不严谨导 致他始终郁郁不得志的方法，匆匆写成三篇 论文，寄给法国最杰出的数学家们。

　　这三篇论文，让伽罗华的数学成就和论文中 胡乱写下的情人斯特凡妮的名字，永垂不朽。

欧阳京

十一、女人不懂逻辑？


　　这句话是在我所开的所有玩笑中，最令我后悔的一个。

　　第一，这是一个令人不安的错误命题；第二，因为性歧视迄今还存在，这个玩笑容易被当真。

　　我赞同柏拉图的话，每个人都有自己的位置，每个人安分守己、各施其职，就是“理想国”（就不发挥了）。

　　我认为：男人是这个世界的柱子，女人是柱子的基石。当然，不排除有男人想做基石，女人想做柱子的可能，因为人都有自由意志。

　　第一个女哲学家，据说是发明哲学家这个词的毕达哥拉斯的妻子，名叫西诺，文艺青年把她叫做西娅娜。但是我喜欢西诺这个名字，因为它差点让我把她和著名悖论家芝诺等同起来。

　　西诺是毕达哥拉斯的28个女学生之一，也是他最忠实的信徒，因为她把自己的身体和灵魂全部交给了这个数学家、哲学暴君、鼓吹男女平等的先驱。可见女子对逻辑的爱慕程度，也可以达到舍”身“取义的地步。

　　当然，真正为哲学舍生取义的女性，是公元4世纪亚历山大大学一位数学教授的女儿，解题专家、演说家希帕蒂亚（Hypatia）。她为了数学和逻辑，甘愿与真理结婚，保持独身，直到被狂热的宗教徒迫害而死。

　　她悲惨的死法，让人毛骨悚然。”她被人从马车里拖出来，剥光了衣服，拖到庙里，一群野蛮人、狂热分子用牡蛎壳将她的肉从骨头上剃下来，她颤抖着的断臂残肢被扔进火中。。。（《罗马帝国衰亡史》作者爱德华.吉本语）

　　文艺复兴期间，也出了一个女数学家，Maria Agnesi。同样，她也是一个数学家的女儿，是当时欧洲最好的数学家之一。尽管她才能出众，还是被时人称为“阿涅西的女巫”。。。

　　直到20世纪，爱因斯坦眼里的数学天才Emmy Noether还是被拒绝授予大学授课资格。

　　如果说女人不喜欢哲学，生理因素是其一，性别歧视和世俗偏见导致的迫害是原因之二。

　　为Wiles证明费马大定理提供重要工具和材料的女数学家、弹性理论奠基者索菲.热尔曼，就是因为歧视，而不得不把自己装扮成一个男性，她长期盗用一个已经退出巴黎综合工科学校的男生身份，与她的导师拉格朗日（另一个伟大的名字）以及数学家之王高斯保持通信。直到最后，因为拿破仑入侵普鲁士，这位侠肝义胆的女子，为了保护高斯的生命，写信给她正在指挥军队进攻的将军朋友，不得已暴露了身份。

　　也因为这些，高斯说服了格丁根大学，授予索菲名誉博士学问，遗憾的是，彼时的索菲热尔曼，已经死于乳腺癌了。最为反讽的是，她死亡证明书上的身份，却是“无职业也未婚妇女”。。。

　　没有索菲热尔曼关于素数的卓越贡献，就不会有Wiles的成功。

　　男人是世界的柱子，女人是柱子的基石，这句话在索菲热尔曼的故事中体现得很充分。

欧阳京

十二， 2=1?----无穷大的吊诡

　　总而言之，Wiles几乎穷尽了20世纪的数学方 法和理论，最终征服了费马大定理。并且成功 地架设了数论和模形式的桥梁---证明了谷山--志村猜想。

　　尽管如此，余绪并未消失，其中最为人着迷的 是，费马轻描淡写地在丢番图算术书中一页边 上写下的话：“我有一个极好的证明，但是这 里写不下。”自负而好捉弄人的费马，也许真的用17世纪的数学方法，证明了这个定理， 或者，他不过是象很多后来者一样，犯了一个初级错误而已。

　　可是，这又有什么关系？对某一问题，无穷的历史中长河中，存在着多种证明方法的可能性是很大的，也许明天就会冒出一个更简洁的费马大定理的证明，甚至，事实上存在无穷多的解法，只是暂时未被发现而已。

　　不过，这都无关紧要了，我们这里要思考的问 题是，在这些无穷后面，有没有一致的东西？ 从表面上看来，如果我们的出发点相同，结果相同，思考方法，过程尽管各不同，甚至无穷 多样。我们总可以认为，这种一致性，就是我们要追求的真理。

　　显然，面对无穷的东西，人类唯有理性可以对付，不过理性经常束手无策。

　　一个典型的问题是歌德巴赫猜想。

　　所谓歌德巴赫猜想，其实等同于欧拉的猜想， 任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，也 就是俗称的1+1=2。尽管我们用现代计算机， 可以证实很大的偶数都满足该猜想，但从数学上而言，由于偶数的无穷性，该猜想迄今无法 证明。

　　最接近目标的成果，应该算是中国数学家陈景润证明的“陈氏定理”----一个大偶数，可以分拆成两个质数之和或者一个质数和一个殆素数 之和。（所谓殆素数，就是最接近素数的数， 即可以分解成为两个素数之乘积的数。

　　陈氏定理简称为1+2。

　　另一个例子，是拓扑学中的四色地图猜想。此 猜想源自于一个有趣的地图填色游戏---随便 打开一个地图，我们把不同的国家用不同的颜 色来填充，而且相邻国家不得用同色填充以示 区分。经过最初猜想者实验，无论他拿什么样 的地图，用四种颜色总是足够了。

　　推而广之，一个有无穷个国家的地图用四种颜色就足够。不过这也是个猜想 。

　　由于这个问题太过于复杂，最后，能得出的最好结果是：我们能用计算机来验证人工分类的上千种地图都合乎此猜想，但我们不能用纯粹数学方法来证明它。

　　另一个关于无穷大的有趣问题，就是本文题目 中的有趣谬误----我们可以证明2=1。过程如 下：

　　a = b => a**2 = ab，两边加上 a**2 - 2ab， 有：a**2 + a**2 - 2ab = ab + a**2 - 2ab， => 2(a**2 - ab) = a**2 -ab

　　两边用a**2 - ab 除该等式，=> 2 = 1。

　　显然，这里唯一的错误是最后一步，用a**2 -ab 除。因为a**2 - ab等于零，而除以0是 数学上的非法操作，所以我们得出了荒谬的结 论。

　　其实，严格说来，这个不能说是逻辑的错误， 而只能说是定义的错误。任何数用零来除，结 果其实上都是无穷大。这种运算只是没有意义 而已，但是这种逻辑可以存在。

　　例如，我可以说，这种被除零的等价形式，a/0 = ∞，等价于 a/∞ = 0.

　　从逻辑上而言，这里是两种意义：1， 任何东 西和无相比，倍数都是无穷大；2， 任何东西和无穷大相比，都相当于无。

　　0，相当于无，数学上说，任何东西与0的差 距，都是无穷倍的。这里隐含的逻辑结果就是 ，无中生有是不行的，从0不能过渡到任何东 西。

　　某种程度上，这相当于著名的芝诺“飞矢不动” 悖论：

　　芝诺问他的学生 ：
     
      “一支射出的箭是动的还是不 动的？”
     
      “那还用说，当然是动的。”

      “确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。 可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗 ？”

      “有的，老师。”

      “在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一 样吗？”

     “有确定的位置，又占据着和自身体积一样大 小的空间。”

     “那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是 不动的？”

     “不动的，老师。”

     “这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”

     “也是不动的，老师。”

     “所以，射出去的箭是不动的？”

　　静止的状态相当于0，也可以说无，另一个变 化了的状态相当于有，有和无之间，隔着无穷的深渊。所以芝诺相信：运动，不过是一无穷系列的静止状态的集合。

　　在我看来，无穷大的另外一个意义----任何东西和无穷大相比，都相当于0----是有非常的内涵的。

　　我的讨论如下：

　　如果宇宙是无穷大的，当然，即便宇宙大爆炸假说中的初始爆炸圈决定了宇宙的边界，这个 边界之外到底是什么？这是无法得知的， 而空间是延续的，因此逻辑上，我们只能认可 ，宇宙是无穷大的。

　　另外一个方向上，我也认为粒子是无穷小可分的。例如很久前，物理学家认为电子、质子就是最小的物质颗粒了，然而，夸克子、 介子、玻色子等等发现，直到最近的“上帝粒 子”的发现，把物质的微细度，又往前推进了 好远。

　　那么，将来会不会发现更小、更接近于无的粒 子？从逻辑上而言，没有什么东西会阻挡这种 发现，因为有和无之间，还存在着无限的空间 。

欧阳京

十二、不是结束的结语

       正如我以前的文章《薛定谔猫和神》中谈到，在这 无限的空间尺度里，一花一世界，一叶一乾坤 ，我要说原子中存在着广大的空间，足够容纳智能生命，你也是不能反驳的。

　　同理，我们人类虽然占据着地球这个貌似硕大 无比的行星，可是比起太阳系，比起银河系， 比起整个无穷大宇宙来，不过也是一个微不足 道的颗粒。地球比介子大，没有错，好比2>1 ，但是和无穷大的宇宙相比，地球和介子，就 是2=1，没有任何区别。说不定，对于另一个 空间尺度比我们大很多倍的存在而言，地球不 过就是一个原子而已！人家说不定也在试图用 他们太过于庞大的测量系统，试图把地球和月 球分成原子核和电子呢。只不过由于测量工具 标度过大，他们总是测不准某一个时间上，月球这个电子的具体位置而已！

　　而月球对于我们而言，月亏月满，确实那样地实在啊。

　　毕达哥拉斯说，世界的本质是数学。所以，这 种数学和逻辑上的思考，我无法不把他扩展到 哲学的另一个领域----伦理学。

　　作为一个俗人，我就常常站在一个人的角度思 考问题，总觉得要把人横向比较起来，2是大 于1的，这个人学富五车、富甲天下，那个人学识平庸，品德 卑劣，智商低下，穷极无聊。总之，我们每天 都在做凡夫俗子数学运算。

　　作为一个基督徒，我想起康德的话说，每一个民族都要有仰望星空的人。浩瀚无穷的星空之 下，你那些学识算得了什么？你那些财富算得 了什么？你那些小小的幸福，又算得了什么？ 在神圣无比、纯洁无暇、智慧无穷的耶稣之下 ，你的品德算得了什么？你的智商又算得了什 么？

　　在世俗生活中，2>1，但是在哲学世界里，2= 1。任何人，都不过是满身罪过、满身污秽的 凡夫俗子。君子和小人，专制者和奴隶，压迫 者和良心犯，无辜者和作奸犯科者，都不过是 五十步笑百步而已。

　　在这样的伦理观之下，我常常感叹疑问：为什 么没有信仰的中国人一人成龙，三人成虫？

      从人性自私这个角度出发，人人都觉得自己 比别人高明，比别人优秀。

　　我们天天都在做四则运算，自己的2，就是大于别人的1。而忘记了每个人都有自己的2， 每个人都有自己的1。对于无穷的生命与智慧而言，这些2，这些1，又有什么区别 呢？

　　法律面前人人平等，其根源就是万能的、奥秘 无穷的上帝面前人人平等。而有了平等，才有 合作的可能。

　　没有基督教，就没有英美乡镇自治；没有信仰 ，就不会有“风能进雨能进国王不能进”的“个人的自治”。

　　谁也不比谁高明，每个人只是自身利益的最佳判断者，一旦你要判断其别人来，你就是把自 己的有限智慧，置于”天“或者说”神“的无穷智 慧之上，不但难免悖论，小知不及大知，小年 不及大年，误入歧途，在无穷面前，浪费有穷的生命。

　　逻辑上和空间上的无穷的吊诡在于人的有限和渺小，如果有一个无穷的永恒存在，跨越任何 空间和时间维度，我们的生命便可以幸免于荒谬和可笑。

　　这个无穷的永恒的完美存在，在我看来，就是神；就是万般变化的无穷可能之中所蕴含的一致 ，是真理。

kevin妈妈

太高深了，我开始看不懂了

kevin妈妈

这个我有点不明白，一个要自杀的人，怎么还会有心情去图书馆读书？

欧阳京

kevin妈妈 发表于 20-6-2020 13:33
这个我有点不明白，一个要自杀的人，怎么还会有心情去图书馆读书？

也许他已经喝过咖啡了？

欧阳京

kevin妈妈 发表于 20-6-2020 13:31
太高深了，我开始看不懂了

这都是我的初稿，因为答应朋友，所以先贴出来。当然，还有些地方可以商榷和修改。请容我慢慢来。

kevin妈妈

欧阳京 发表于 20-6-2020 16:14
也许他已经喝过咖啡了？

我没有看懂，“也许他已经喝过咖啡了”是什么意思？

kevin妈妈

欧阳京 发表于 20-6-2020 19:47
这都是我的初稿，因为答应朋友，所以先贴出来。当然，还有些地方可以商榷和修改。请容我慢慢来。

是我的水平有限，数学太渣

欧阳京

kevin妈妈 发表于 20-6-2020 20:37
我没有看懂，“也许他已经喝过咖啡了”是什么意思？

所以没事干去图书馆了。

行者之心

写得太好了，谢谢分享。洋洋洒洒，一气呵成。所以费马大定理终究不是一个无法证明的真命题。不知道数学中有没有这样的例子。
不过在计算机领域，这样的例子倒是不少。比较容易的一个就是可以揭示一切数学定理的神奇数字欧米噶，它存在，但是却无法找到

欧阳京

行者之心 发表于 21-6-2020 19:20
写得太好了，谢谢分享。洋洋洒洒，一气呵成。所以费马大定理终究不是一个无法证明的真命题。不知道数学中有 ...

费马大定理，即Fermat‘s last Theorem，亦即Fermat's conjecture：不定方程X^n+Y^n=Z^n 在n大于2时，没有正整数解，已经被证明了。

这让我想起最近ABC台在播放的Mao's last dancer。西人对中国文化的理解，真是太肤浅了。

科学无国界，可是艺术的国界，比鸿沟还深。

春浅

难得有好的原创文章
K妈可以发公号了

行者之心

欧阳京 发表于 22-6-2020 10:36
费马大定理，即Fermat‘s last Theorem，亦即Fermat's conjecture：不定方程X^n+Y^n=Z^n 在n大于2时，没 ...

我看过电影mao's last dancer. 感觉电影拍得还不错，不知道哪些地方表现出西人对中国文化的误解，如果方便，还望欧阳兄解惑

欧阳京

行者之心 发表于 22-6-2020 14:44
我看过电影mao's last dancer. 感觉电影拍得还不错，不知道哪些地方表现出西人对中国文化的误解，如果方 ...

等我再看一遍再回复你吧。