神奇的数学（II）- 有理性的数

行者之心

温联 2020-08-07

上一次我们聊了“1”，这个最基本的数字，虽然简单但却拥有和神一样不生不灭普遍存在的特性。从“1”很容易就推演出正整数家族的1,2,3…直到无穷，它们也被称为自然数，就是自然而然的数。

数学的起源并不限于数学家或哲学家，其中商人的贡献也不容忽视。相对于自然数，就是我们可以板着手指头数的数，负数比较抽象。也许负数的发明起源于商业的借贷。张三需要给李四还十个苹果，已经还了七个了，还欠三个苹果。这三个欠着的苹果是看不见摸不着的，所以是负三个苹果。

有了正整数和负整数之后，我们也要提一句零这个怪胎。当我们理解一个整数时，我们可以把它和相同数量的具体物品连接起来，比如两只铅笔，三个苹果。但零是个什么东东。零只铅笔有意义吗？如果我们说零只铅笔不存在，那么零存在吗？总之我们虽然对零早就习以为常，其实零是一个非常特别的数，可以说是经过特许才进入数学大家庭。它一个数可以对抗其他所有的数。它自身虽然连自己是否存在都搞不清楚，但只有通过它，其他数的作用才能充分发挥。它如同佛教中的空，大爆炸理论中的奇点，道教中的无，因而所有的万物都是由它而生。

有理性的数(rational numbers)，也就是我们常说的有理数则毫无疑问是由商人们最先发明的。当人们同意三个苹果可以交换五根香蕉的时候，聪明的商人就明白一个苹果的价值就相当于三分之五根香蕉，也就是5除以3。这样就发明了分数，也就是有理数。

和整数相比，有理数大大扩充了人们对数字的理解。我们脑子里想象一条长长的栅栏每一个整数都对应栅栏上的一根桩子。这根栅栏向两边都可以无限延申，预示着正整数和负整数都可以无限增加。如果由整数当栅栏桩子，因为两个相邻整数之间的间距是固定的，两根桩子之间就有一个大大的空隙。

如果我们希望这个栅栏密不透风，我们可以在整数对应的柱子之间加上由有理数组成的桩子。比如1和2之间可以加上一个2分之3来增加桩子的密度。与整数相比，由有理数构成桩子的最大特点就是桩子之间没有最窄间距。无论两个有理数距离多么接近，我们都可以在中间再插上一个有理数，实际上是可以再插上无数个有理数。

因为由有理数构成的桩子是如此的密集（可以脑补一下，对于有密集恐惧症的人恐怕是个灾难），当时人们认为有理数囊括了所有的数，也就是一根数轴上的任意一点都对应一个有理数。古希腊哲学家毕达哥拉斯认为数是万物的起源，整个宇宙都是由数字构成，同时宇宙是有理性的，因为构造它们的数字都是有理性的。

因为由有理数构成的数轴是如此和谐完美，当时的毕达哥拉斯自信满满，相信自己已经掌握了理解宇宙的钥匙。他建立了毕达哥拉斯学派，把数学当作宗教一样来崇拜。他的信徒遍布古希腊，他的理论顺风顺水，直到他的一名弟子偶然发现了一个数居然不是有理性的，他的理论大厦才轰然倒塌，下次我们聊聊摧毁毕达哥拉斯学派的那个异端。

snapdragon

毕教主也挺值得一说的

snapdragon

太稀饭这个系列了
听说最聪明的人都上数学系。cs是数学不好的人才上的
行者大大有空讲述一下，从math 到 cs 华丽丽转身背后的故事？

行者之心

annahw 发表于 8-8-2020 22:28
太稀饭这个系列了
听说最聪明的人都上数学系。cs是数学不好的人才上的
行者大大有空讲述一下 ...

好吧，既然有人喜欢我就慢慢讲，数学，如果放弃应用，实在是最可爱的东西。不过一但想把它和应用连接在一起，就如同鲜花插在牛粪上，完全被糟蹋了，甚至更糟，直接被牛粪掩埋了

snapdragon

行者之心 发表于 9-8-2020 08:54
好吧，既然有人喜欢我就慢慢讲，数学，如果放弃应用，实在是最可爱的东西。不过一但想把它和应用连接在一 ...

您继续讲，就如我原来上不了坛子，还有一阵子是当时没有太多时间上，草草看过并未回复；后来有了时间，记忆中您写过的东西，我又会去温故 功德无量

snapdragon

---我们也要提一句零这个怪胎。当我们理解一个整数时，我们可以把它和相同数量的具体物品连接起来，比如两只铅笔，三个苹果。但零是个什么东东。零只铅笔有意义吗？如果我们说零只铅笔不存在，那么零存在吗？总之我们虽然对零早就习以为常，其实零是一个非常特别的数，可以说是经过特许才进入数学大家庭。它一个数可以对抗其他所有的数。它自身虽然连自己是否存在都搞不清楚，但只有通过它，其他数的作用才能充分发挥。它如同佛教中的空，大爆炸理论中的奇点，道教中的无，因而所有的万物都是由它而生。----


今天翻王维的诗，王维诗佛，诗中也特别爱用“空”， 空山新雨后；空山不见人；胜事空自知；夜静春山空。这空大概就是那个0吧。没有空便没有满？

行者之心

annahw 发表于 11-8-2020 13:11
---我们也要提一句零这个怪胎。当我们理解一个整数时，我们可以把它和相同数量的具体物品连接起来，比如两 ...

嗯，有道理